曲線底下的臨床直覺：從血壓、CRP 到等待時間
前一章我們處理可以數出來的隨機變項，例如副作用人數、急診到院數、抽到錯誤病歷數。這一章要進入連續機率分布 (continuous probability distribution)：血壓、膽固醇、身高、等待時間、發炎指標等變項理論上可以在某個範圍內取非常多可能值。連續分布的世界不再問「剛好等於某個值」的機率，而是問「落在某個區間」的機率。
讀完本章後，你應該能夠：
scipy.stats 計算並視覺化連續機率分布。連續隨機變項 (continuous random variable) 可以在某個區間內取無限多個可能值。例如收縮壓可能是 119.8、120.0、120.03 mmHg；真正測量時儀器會四捨五入，但概念上它是連續的。
對連續分布來說，單一精確值的機率是 0。也就是說，\(P(X = 120)\) 在數學上是 0；我們真正關心的是區間機率，例如：
\[ P(120 \le X \le 140) \]
機率密度函數 (probability density function, PDF) 的曲線高度不是機率本身，而是密度。曲線下某段區間的面積才是機率。這點很重要，因為初學者很容易把曲線高度當成機率。請記得：連續分布看面積，不看單點高度。
累積分布函數 (cumulative distribution function, CDF) 定義為：
\[ F(x) = P(X \le x) \]
它回答「小於或等於某值」的機率。若要算區間機率：
\[ P(a \le X \le b) = F(b) - F(a) \]
常態分布 (normal distribution) 是最重要的連續分布之一。若隨機變項 \(X\) 服從平均值 \(\mu\)、標準差 \(\sigma\) 的常態分布，記作：
\[ X \sim N(\mu, \sigma^2) \]
常態分布有鐘形、對稱的形狀。平均值、中位數與眾數位於同一位置。約 68% 的資料落在平均值正負 1 個標準差內，約 95% 落在正負 2 個標準差內，約 99.7% 落在正負 3 個標準差內。這常被稱為 68-95-99.7 規則。
常態分布常用於近似身高、某些生理量、測量誤差，以及更重要的：許多估計量的抽樣分布 (sampling distribution)。後者會在估計與假設檢定章節成為主角。
假設某門診族群的收縮壓近似常態分布，平均值 130 mmHg，標準差 15 mmHg。令 \(X\) 為收縮壓：
\[ X \sim N(130, 15^2) \]
我們想知道收縮壓至少 140 mmHg 的機率。
mean_sbp = 130
sd_sbp = 15
threshold = 140
p_high_sbp = 1 - norm.cdf(threshold, loc=mean_sbp, scale=sd_sbp)
z_threshold = (threshold - mean_sbp) / sd_sbp
pd.DataFrame(
{
"quantity": ["z 分數", "P(SBP >= 140)"],
"value": [z_threshold, p_high_sbp],
}
).round(4)| quantity | value | |
|---|---|---|
| 0 | z 分數 | 0.6667 |
| 1 | P(SBP >= 140) | 0.2525 |
sbp_grid = np.linspace(80, 180, 500)
sbp_df = pd.DataFrame(
{
"sbp": sbp_grid,
"density": norm.pdf(sbp_grid, loc=mean_sbp, scale=sd_sbp),
}
)
plt.figure(figsize=(7, 4.5))
sns.lineplot(data=sbp_df, x="sbp", y="density", color="#2a9d8f", linewidth=2.5)
plt.fill_between(sbp_grid, 0, sbp_df["density"], where=sbp_grid >= threshold, color="#e76f51", alpha=0.35)
plt.xlabel("收縮壓 (mmHg)")
plt.ylabel("機率密度")
plt.title("常態分布：平均 130、標準差 15 的收縮壓")
plt.tight_layout()
plt.savefig(FIG_DIR / "ch05_normal_sbp_tail.png", dpi=300)
plt.show()
這個機率約表示：若上述常態模型合理，隨機抽一位門診病人，其收縮壓至少 140 mmHg 的機率是多少。請注意，這不是說每 100 位病人中一定有固定人數超過 140，而是長期比例的模型描述。
標準常態分布 (standard normal distribution) 是平均值 0、標準差 1 的常態分布，記作：
\[ Z \sim N(0, 1) \]
任何常態變項 \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) 都可轉成 z 分數：
\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]
z 分數表示某觀察值距離平均值幾個標準差。例如上面的 140 mmHg：
\[ Z = \frac{140 - 130}{15} = 0.667 \]
也就是 140 mmHg 比平均值高 0.667 個標準差。z 分數可以把不同量尺的資料放到同一個標準常態架構中比較。
標準常態分布中，約 95% 機率落在 -1.96 到 1.96 之間。這個數字會在信賴區間 (confidence interval) 中反覆出現。
middle_95 = norm.cdf(1.96) - norm.cdf(-1.96)
central_limits = norm.ppf([0.025, 0.975])
pd.DataFrame(
{
"quantity": ["P(-1.96 <= Z <= 1.96)", "第 2.5 百分位數", "第 97.5 百分位數"],
"value": [middle_95, central_limits[0], central_limits[1]],
}
).round(4)| quantity | value | |
|---|---|---|
| 0 | P(-1.96 <= Z <= 1.96) | 0.95 |
| 1 | 第 2.5 百分位數 | -1.96 |
| 2 | 第 97.5 百分位數 | 1.96 |
z_grid = np.linspace(-4, 4, 500)
z_df = pd.DataFrame({"z": z_grid, "density": norm.pdf(z_grid)})
plt.figure(figsize=(7, 4.5))
sns.lineplot(data=z_df, x="z", y="density", color="#264653", linewidth=2.5)
plt.fill_between(z_grid, 0, z_df["density"], where=(z_grid >= -1.96) & (z_grid <= 1.96), color="#8ab17d", alpha=0.35)
plt.xlabel("z")
plt.ylabel("機率密度")
plt.title("標準常態分布中間 95% 區域")
plt.tight_layout()
plt.savefig(FIG_DIR / "ch05_standard_normal_95.png", dpi=300)
plt.show()
醫學統計裡很多「95%」都不是神秘儀式，而是來自常態近似與長期覆蓋率的概念。它不是完美保證，但很好用；像聽診器一樣，不能回答所有問題，但值得放在口袋裡。
百分位數 (percentile) 在連續分布中也很常見。例如某檢驗值位於第 97.5 百分位數以上，可能被視為偏高。臨床檢驗常見的參考區間 (reference interval) 通常涵蓋健康族群中間 95% 的檢驗值，也就是第 2.5 到第 97.5 百分位數。
若某健康成人檢驗值近似常態分布，平均值 50、標準差 10，其中間 95% 約為：
ref_mean = 50
ref_sd = 10
reference_interval = norm.ppf([0.025, 0.975], loc=ref_mean, scale=ref_sd)
pd.DataFrame(
{
"bound": ["lower 2.5%", "upper 97.5%"],
"value": reference_interval,
}
).round(2)| bound | value | |
|---|---|---|
| 0 | lower 2.5% | 30.4 |
| 1 | upper 97.5% | 69.6 |
參考區間不是診斷標準的同義詞。落在參考區間外不一定有病，落在參考區間內也不保證健康。它只是描述參考族群分布的位置，臨床解釋仍要看症狀、風險、檢驗目的與測量誤差。
對數常態分布 (log-normal distribution) 常用於描述右偏且只能取正值的資料，例如 CRP、醫療費用、住院天數、某些生物標記濃度。若 \(Y = \log(X)\) 服從常態分布，則 \(X\) 服從對數常態分布。
這代表原始資料可能右偏，但取對數後比較接近對稱。許多臨床研究會對右偏變項做對數轉換 (log transformation)，讓模型假設更合理。
crp_median = lognorm.median(s=0.75, scale=np.exp(1.25))
crp_mean = lognorm.mean(s=0.75, scale=np.exp(1.25))
crp_p95 = lognorm.ppf(0.95, s=0.75, scale=np.exp(1.25))
pd.DataFrame(
{
"quantity": ["中位數", "平均值", "第 95 百分位數"],
"CRP": [crp_median, crp_mean, crp_p95],
}
).round(2)| quantity | CRP | |
|---|---|---|
| 0 | 中位數 | 3.49 |
| 1 | 平均值 | 4.62 |
| 2 | 第 95 百分位數 | 11.98 |
crp_grid = np.linspace(0.01, 25, 500)
crp_df = pd.DataFrame(
{
"crp": crp_grid,
"density": lognorm.pdf(crp_grid, s=0.75, scale=np.exp(1.25)),
}
)
plt.figure(figsize=(7, 4.5))
sns.lineplot(data=crp_df, x="crp", y="density", color="#457b9d", linewidth=2.5)
plt.xlabel("CRP (mg/dL)")
plt.ylabel("機率密度")
plt.title("對數常態分布：右偏的發炎指標")
plt.tight_layout()
plt.savefig(FIG_DIR / "ch05_lognormal_crp.png", dpi=300)
plt.show()
對數常態分布有一個臨床上很重要的提醒：右偏資料的平均值常大於中位數。若只報平均值，讀者可能以為典型病人的 CRP 比實際更高。這時中位數與四分位距常更容易解釋。
指數分布 (exponential distribution) 常用來描述等待下一個事件發生的時間，例如等待下一位急診病人到院、等待下一次警報、等待某設備故障。若事件以穩定速率隨機發生，等待時間可用指數分布描述。
指數分布常以 rate 參數 \(\lambda\) 表示，平均等待時間為 \(1/\lambda\)。在 scipy.stats.expon 中，常用 scale 表示平均等待時間。
假設某時段平均每 6 小時出現 1 位需要隔離床的病人。令 \(T\) 為等待下一位此類病人的時間，若 \(T\) 服從平均 6 小時的指數分布，則 4 小時內出現的機率為：
mean_wait = 6
p_within_4_hours = expon.cdf(4, scale=mean_wait)
p_more_than_12_hours = 1 - expon.cdf(12, scale=mean_wait)
pd.DataFrame(
{
"問題": ["4 小時內出現", "超過 12 小時才出現"],
"機率": [p_within_4_hours, p_more_than_12_hours],
}
).round(4)| 問題 | 機率 | |
|---|---|---|
| 0 | 4 小時內出現 | 0.4866 |
| 1 | 超過 12 小時才出現 | 0.1353 |
wait_grid = np.linspace(0, 24, 500)
wait_df = pd.DataFrame({"hours": wait_grid, "density": expon.pdf(wait_grid, scale=mean_wait)})
plt.figure(figsize=(7, 4.5))
sns.lineplot(data=wait_df, x="hours", y="density", color="#e9c46a", linewidth=2.5)
plt.fill_between(wait_grid, 0, wait_df["density"], where=wait_grid <= 4, color="#f4a261", alpha=0.35)
plt.xlabel("等待時間 (小時)")
plt.ylabel("機率密度")
plt.title("指數分布：平均等待 6 小時")
plt.tight_layout()
plt.savefig(FIG_DIR / "ch05_exponential_waiting_time.png", dpi=300)
plt.show()
指數分布具有無記憶性 (memoryless property)：已經等了多久，不改變未來還要等多久的分布。這個性質在數學上漂亮，但在醫院現場未必完全成立，因為到院率可能受時段、天氣、假日與疫情影響。
t 分布 (t distribution) 與常態分布相似，但尾端較厚。當樣本數較小、母群體標準差未知、我們用樣本標準差估計不確定性時，t 分布會自然出現。它是信賴區間與 t 檢定的重要基礎。
t 分布由自由度 (degrees of freedom) 控制。自由度越小，尾端越厚；自由度越大，t 分布越接近標準常態分布。
x_grid = np.linspace(-4, 4, 500)
dist_rows = []
for df_value in [3, 10, 30]:
dist_rows.extend(
{"x": x, "density": t.pdf(x, df=df_value), "distribution": f"t, df={df_value}"}
for x in x_grid
)
dist_rows.extend({"x": x, "density": norm.pdf(x), "distribution": "標準常態"} for x in x_grid)
t_df = pd.DataFrame(dist_rows)
plt.figure(figsize=(7, 4.5))
sns.lineplot(data=t_df, x="x", y="density", hue="distribution", linewidth=2)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("機率密度")
plt.title("t 分布與標準常態分布")
plt.tight_layout()
plt.savefig(FIG_DIR / "ch05_t_distribution_comparison.png", dpi=300)
plt.show()
為什麼小樣本需要 t 分布？因為樣本標準差本身也有不確定性。樣本少時，我們對標準差估得比較不穩，於是分布尾端需要更保守一些。統計不是悲觀，它只是知道資料少時別太自信。
卡方分布 (chi-square distribution) 常用於變異數推論、類別資料檢定與適合度檢定。若多個獨立標準常態變項平方後相加，結果會服從卡方分布。卡方分布只取非負值，形狀由自由度決定。
chi_grid = np.linspace(0, 25, 500)
chi_rows = []
for df_value in [2, 5, 10]:
chi_rows.extend(
{"x": x, "density": chi2.pdf(x, df=df_value), "df": f"df={df_value}"}
for x in chi_grid
)
chi_df = pd.DataFrame(chi_rows)
plt.figure(figsize=(7, 4.5))
sns.lineplot(data=chi_df, x="x", y="density", hue="df", linewidth=2)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("機率密度")
plt.title("卡方分布")
plt.tight_layout()
plt.savefig(FIG_DIR / "ch05_chi_square_distributions.png", dpi=300)
plt.show()
F 分布 (F distribution) 是兩個依自由度調整後的卡方變項比值，常出現在變異數分析 (analysis of variance, ANOVA) 與多組平均值比較。若你現在覺得它很抽象，完全正常。先記住它是「比較變異來源」的重要分布，Chapter 12 會更常見到它。
f_quantiles = pd.DataFrame(
{
"probability": [0.90, 0.95, 0.975],
"F(df1=3, df2=20)": f.ppf([0.90, 0.95, 0.975], dfn=3, dfd=20),
}
)
f_quantiles.round(3)| probability | F(df1=3, df2=20) | |
|---|---|---|
| 0 | 0.900 | 2.380 |
| 1 | 0.950 | 3.098 |
| 2 | 0.975 | 3.859 |
選擇分布時，先看資料的支持範圍、形狀與生成機制。
| 資料或問題 | 常見分布 | 實務提示 |
|---|---|---|
| 對稱、鐘形的生理量或估計量 | 常態分布 | 適合平均值附近對稱的資料或抽樣分布 |
| 右偏且只能為正的檢驗值或費用 | 對數常態分布 | 常搭配對數轉換 |
| 等待下一個事件的時間 | 指數分布 | 假設事件率穩定且具有無記憶性 |
| 小樣本平均值推論 | t 分布 | 標準差未知時很常用 |
| 變異數與類別資料檢定 | 卡方分布 | 只取非負值，受自由度影響 |
| 變異數比例與 ANOVA | F 分布 | 常用於多組比較 |
分布不是資料的身分證，而是模型。模型可以幫我們思考，但也可能過度簡化。最好的習慣是：先畫圖、看摘要、理解資料來源，再決定分布假設是否合理。
practice_p_sbp = 1 - norm.cdf(140, loc=125, scale=12)
practice_z_middle = norm.cdf(1.64) - norm.cdf(-1.64)
practice_wait_6 = expon.cdf(6, scale=8)
practice_t_975 = t.ppf(0.975, df=12)
pd.DataFrame(
{
"問題": [
"P(SBP >= 140), mean=125, SD=12",
"P(-1.64 <= Z <= 1.64)",
"平均等待 8 小時時，6 小時內發生",
"t(df=12) 第 97.5 百分位數",
],
"數值": [
practice_p_sbp,
practice_z_middle,
practice_wait_6,
practice_t_975,
],
}
).round(4)| 問題 | 數值 | |
|---|---|---|
| 0 | P(SBP >= 140), mean=125, SD=12 | 0.1056 |
| 1 | P(-1.64 <= Z <= 1.64) | 0.8990 |
| 2 | 平均等待 8 小時時，6 小時內發生 | 0.5276 |
| 3 | t(df=12) 第 97.5 百分位數 | 2.1788 |
| 中文術語 | English term | 說明 |
|---|---|---|
| 連續機率分布 | continuous probability distribution | 描述連續隨機變項可能值與機率結構的分布。 |
| 連續隨機變項 | continuous random variable | 可在某區間內取無限多可能值的隨機變項。 |
| 機率密度函數 | probability density function, PDF | 描述連續分布密度的函數，曲線下面積代表機率。 |
| 累積分布函數 | cumulative distribution function, CDF | 給出隨機變項小於或等於某值機率的函數。 |
| 常態分布 | normal distribution | 對稱鐘形的連續分布，由平均值與標準差決定。 |
| 標準常態分布 | standard normal distribution | 平均值 0、標準差 1 的常態分布。 |
| z 分數 | z-score | 觀察值距離平均值幾個標準差的標準化數值。 |
| 百分位數 | percentile | 分布中有特定比例低於或等於該值的位置。 |
| 參考區間 | reference interval | 通常涵蓋參考族群中間 95% 數值的區間。 |
| 對數常態分布 | log-normal distribution | 取對數後服從常態分布的正值變項分布。 |
| 對數轉換 | log transformation | 對資料取對數以改善右偏或模型假設的方法。 |
| 指數分布 | exponential distribution | 常用於等待下一個事件發生時間的連續分布。 |
| 無記憶性 | memoryless property | 已等待時間不改變未來等待分布的性質。 |
| t 分布 | t distribution | 小樣本平均值推論常用、尾端較常態厚的分布。 |
| 自由度 | degrees of freedom | 分布或估計中可自由變動資訊量的參數。 |
| 卡方分布 | chi-square distribution | 非負連續分布，常用於變異數與類別資料檢定。 |
| F 分布 | F distribution | 兩個變異估計比值相關的分布，常用於 ANOVA。 |
| 變異數分析 | analysis of variance, ANOVA | 比較多組平均值時常用的統計方法。 |
| 抽樣分布 | sampling distribution | 統計量在重複抽樣下形成的機率分布。 |