當資料不想乖乖常態：用排序與重抽樣聽懂它
前幾章我們學到 t 檢定、信賴區間與常態近似。這些方法很好用，但醫療資料常常不太乖：住院天數右偏、疼痛分數是等級、樣本數很小、離群值很有存在感。這時候，非參數方法 (nonparametric methods) 提供另一條路。
非參數方法不是「不用假設」的方法，而是較少依賴特定母群體分布形狀的方法。許多非參數檢定使用排序 (rank) 而非原始數值，因此對極端值較穩健。它們像臨床老師看到病人資料很亂時，溫柔但堅定地說：「我們先排隊。」
讀完本章後，你應該能夠：
非參數方法常用於下列情境：
不過，非參數方法也不是萬能。它們通常檢定分布位置或排序差異，不一定直接檢定平均值差異。報告結果時，最好搭配中位數、四分位距與合適的效果量，避免只丟出一個 p 值讓讀者自己找路。
許多非參數方法會把原始資料轉成排序。假設資料為 3、8、10，排序分別是 1、2、3。若有相同值，通常使用平均排序。例如 3、8、8、10 中，兩個 8 佔第 2 與第 3 名，因此各給 2.5。
排序的優點是降低極端值影響。若某病人住院 60 天，平均值會被明顯拉高；但在排序資料中，它只是最大值。這不代表離群值不重要，而是非參數方法不讓它一個人把整張桌子掀翻。
Mann-Whitney U 檢定用於比較兩個獨立樣本的分布位置，常被視為兩獨立樣本 t 檢定的非參數替代方法。它也稱 Wilcoxon rank-sum test。
重要提醒：Mann-Whitney U 檢定不只是「中位數檢定」。若兩組分布形狀相似，它可被解讀為位置差異；若分布形狀不同，解釋要更小心。
假設研究比較標準照護與加強出院準備兩組病人的住院天數。住院天數右偏且樣本不大，因此考慮 Mann-Whitney U 檢定。
standard_los = np.array([3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 10, 13, 18, 25])
enhanced_los = np.array([2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 9, 12, 16])
los_df = pd.DataFrame(
{
"los": np.r_[standard_los, enhanced_los],
"group": ["標準照護"] * len(standard_los) + ["加強出院準備"] * len(enhanced_los),
}
)
los_df.groupby("group")["los"].agg(["count", "median", "mean", "std"]).round(2)| count | median | mean | std | |
|---|---|---|---|---|
| group | ||||
| 加強出院準備 | 12 | 5.0 | 6.33 | 4.14 |
| 標準照護 | 12 | 6.5 | 9.00 | 6.65 |
plt.figure(figsize=(7, 4.5))
sns.boxplot(data=los_df, x="group", y="los", hue="group", palette="Set2", legend=False)
sns.stripplot(data=los_df, x="group", y="los", color="#333333", alpha=0.7, jitter=0.12)
plt.xlabel("照護組別")
plt.ylabel("住院天數")
plt.title("右偏住院天數：兩組比較")
plt.tight_layout()
plt.savefig(FIG_DIR / "ch09_mannwhitney_los_boxplot.png", dpi=300)
plt.show()
mw_result = mannwhitneyu(enhanced_los, standard_los, alternative="less")
pd.DataFrame(
{
"quantity": ["U 統計量", "單尾 p 值"],
"value": [mw_result.statistic, mw_result.pvalue],
}
).round(4)| quantity | value | |
|---|---|---|
| 0 | U 統計量 | 52.0000 |
| 1 | 單尾 p 值 | 0.1288 |
這裡使用單尾對立假設，因為研究問題是「加強出院準備是否縮短住院天數」。若研究前沒有明確方向，應使用雙尾檢定。
配對資料若差值明顯不符合常態，或結果是次序尺度，可以考慮符號檢定或 Wilcoxon 符號等級檢定。
符號檢定只看差值方向：改善、惡化或無變化。它非常穩健，但也丟掉很多資訊。Wilcoxon 符號等級檢定同時考慮差值方向與大小排序，因此通常比符號檢定更有檢定力，但它假設差值分布大致對稱。
某疼痛門診記錄 12 位病人治療前後的疼痛分數，分數為 0 到 10 的次序量尺。研究問題是治療後疼痛是否下降。
pain_before = np.array([8, 7, 6, 8, 9, 7, 6, 8, 7, 9, 6, 8])
pain_after = np.array([5, 6, 4, 6, 6, 5, 5, 7, 4, 7, 4, 6])
paired_df = pd.DataFrame({"id": np.arange(1, 13), "before": pain_before, "after": pain_after})
paired_df["difference"] = paired_df["after"] - paired_df["before"]
paired_df| id | before | after | difference | |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 8 | 5 | -3 |
| 1 | 2 | 7 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | 6 | 4 | -2 |
| 3 | 4 | 8 | 6 | -2 |
| 4 | 5 | 9 | 6 | -3 |
| 5 | 6 | 7 | 5 | -2 |
| 6 | 7 | 6 | 5 | -1 |
| 7 | 8 | 8 | 7 | -1 |
| 8 | 9 | 7 | 4 | -3 |
| 9 | 10 | 9 | 7 | -2 |
| 10 | 11 | 6 | 4 | -2 |
| 11 | 12 | 8 | 6 | -2 |
plt.figure(figsize=(7, 4.5))
sns.histplot(data=paired_df, x="difference", bins=np.arange(-5.5, 1.5, 1), color="#8ab17d")
plt.axvline(0, color="#d62828", linestyle="--")
plt.xlabel("疼痛分數差值：治療後 - 治療前")
plt.ylabel("人數")
plt.title("配對差值分布")
plt.tight_layout()
plt.savefig(FIG_DIR / "ch09_wilcoxon_paired_differences.png", dpi=300)
plt.show()
wilcoxon_result = wilcoxon(pain_after, pain_before, alternative="less")
pd.DataFrame(
{
"quantity": ["Wilcoxon 統計量", "單尾 p 值", "差值中位數"],
"value": [wilcoxon_result.statistic, wilcoxon_result.pvalue, np.median(paired_df["difference"])],
}
).round(4)| quantity | value | |
|---|---|---|
| 0 | Wilcoxon 統計量 | 0.0000 |
| 1 | 單尾 p 值 | 0.0002 |
| 2 | 差值中位數 | -2.0000 |
如果 p 值小，代表資料提供證據支持治療後疼痛分數下降。臨床上仍應報告下降幅度，例如差值中位數與四分位距。病人關心的不是 p 值多小，而是疼痛少了多少。
Kruskal-Wallis 檢定是 Mann-Whitney U 檢定的多組延伸，用於比較三組以上獨立樣本的分布位置。它常被視為單因子 ANOVA 的非參數替代方法。
虛無假設是各組來自相同分布。若檢定顯著，代表至少一組不同，但不會告訴你哪兩組不同。後續需要事後比較，並注意多重比較問題。
dose_a = np.array([9, 12, 14, 15, 18, 21, 25, 31])
dose_b = np.array([7, 9, 10, 12, 14, 18, 20, 23])
dose_c = np.array([5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16])
crp_df = pd.DataFrame(
{
"crp": np.r_[dose_a, dose_b, dose_c],
"dose": ["低劑量"] * len(dose_a) + ["中劑量"] * len(dose_b) + ["高劑量"] * len(dose_c),
}
)
crp_df.groupby("dose")["crp"].agg(["count", "median", "mean"]).round(2)| count | median | mean | |
|---|---|---|---|
| dose | |||
| 中劑量 | 8 | 13.0 | 14.12 |
| 低劑量 | 8 | 16.5 | 18.12 |
| 高劑量 | 8 | 9.5 | 10.00 |
plt.figure(figsize=(7, 4.5))
sns.boxplot(data=crp_df, x="dose", y="crp", hue="dose", palette="Set3", legend=False)
sns.stripplot(data=crp_df, x="dose", y="crp", color="#333333", alpha=0.7, jitter=0.12)
plt.xlabel("治療劑量")
plt.ylabel("CRP (mg/L)")
plt.title("三組 CRP 分布")
plt.tight_layout()
plt.savefig(FIG_DIR / "ch09_kruskal_crp_groups.png", dpi=300)
plt.show()
kruskal_result = kruskal(dose_a, dose_b, dose_c)
pd.DataFrame(
{
"quantity": ["H 統計量", "p 值"],
"value": [kruskal_result.statistic, kruskal_result.pvalue],
}
).round(4)| quantity | value | |
|---|---|---|
| 0 | H 統計量 | 6.1965 |
| 1 | p 值 | 0.0451 |
若結果顯著，下一步應該做組間事後比較，並控制多重比較造成的第一型錯誤增加。本章先保留這個伏筆，因為多組推論會在後面章節更完整處理。
Pearson 相關衡量線性關係，而 Spearman 等級相關衡量單調關係 (monotonic relationship)。如果一個變項增加時另一個變項大致增加或大致減少，即使不是直線，Spearman 相關仍可能捕捉到。
Spearman 相關會先把資料轉成排序，再計算排序間的相關。因此它對離群值較不敏感，也適合次序資料。
假設一組糖尿病病人有身體活動分數與 HbA1c。活動分數越高，HbA1c 看起來越低，但關係不一定線性。
activity = np.array([1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12])
hba1c = np.array([9.8, 9.4, 9.1, 8.9, 8.7, 8.4, 8.1, 7.9, 7.6, 7.4, 7.2, 7.1, 6.9, 6.8, 6.7])
corr_df = pd.DataFrame({"activity_score": activity, "hba1c": hba1c})
corr_df.head()| activity_score | hba1c | |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 9.8 |
| 1 | 2 | 9.4 |
| 2 | 2 | 9.1 |
| 3 | 3 | 8.9 |
| 4 | 4 | 8.7 |
plt.figure(figsize=(7, 4.5))
sns.regplot(data=corr_df, x="activity_score", y="hba1c", lowess=True, scatter_kws={"s": 80}, line_kws={"color": "#d62828"})
plt.xlabel("身體活動分數")
plt.ylabel("HbA1c (%)")
plt.title("Spearman 相關：單調關係")
plt.tight_layout()
plt.savefig(FIG_DIR / "ch09_spearman_activity_hba1c.png", dpi=300)
plt.show()
spearman_result = spearmanr(activity, hba1c)
pd.DataFrame(
{
"quantity": ["Spearman rho", "p 值"],
"value": [spearman_result.statistic, spearman_result.pvalue],
}
).round(4)| quantity | value | |
|---|---|---|
| 0 | Spearman rho | -0.9973 |
| 1 | p 值 | 0.0000 |
相關不等於因果。活動量高與 HbA1c 低可能有關，但也可能受到飲食、藥物順從性、病程長短與社經因素影響。Spearman 相關能描述關係，但不能替代研究設計。
置換檢定是一種重抽樣方法。其核心想法是：若虛無假設下兩組沒有差異，那麼組別標籤應該可以任意交換。每次隨機重新分配標籤並計算統計量，就能建立虛無假設下的參考分布。
置換檢定的優點是直覺清楚，且不需要強烈分布假設。缺點是計算量較大，不過現代電腦通常不是問題。請注意，置換檢定仍依賴交換性 (exchangeability)：在虛無假設下，資料標籤可以交換才合理。
def median_difference(x, y, axis=0):
return np.median(x, axis=axis) - np.median(y, axis=axis)
perm_result = permutation_test(
(enhanced_los, standard_los),
median_difference,
alternative="less",
n_resamples=5000,
random_state=20260627,
)
pd.DataFrame(
{
"quantity": ["觀察到的中位數差", "置換檢定 p 值"],
"value": [median_difference(enhanced_los, standard_los), perm_result.pvalue],
}
).round(4)| quantity | value | |
|---|---|---|
| 0 | 觀察到的中位數差 | -1.5000 |
| 1 | 置換檢定 p 值 | 0.2827 |
置換檢定很適合教學，因為它把「如果沒有組間差異，結果會長什麼樣子」這件事具體化。它也提醒我們，統計檢定本質上是在建立一個虛無世界，然後看現實資料在那個世界裡有多不尋常。
practice_group_a = np.array([12, 14, 15, 18, 22, 40])
practice_group_b = np.array([8, 9, 11, 12, 13, 18])
practice_mw = mannwhitneyu(practice_group_b, practice_group_a, alternative="less")
practice_before = np.array([6, 7, 8, 7, 9, 6])
practice_after = np.array([5, 5, 6, 6, 7, 5])
practice_wilcoxon = wilcoxon(practice_after, practice_before, alternative="less")
pd.DataFrame(
{
"檢定": ["Mann-Whitney U", "Wilcoxon signed-rank"],
"統計量": [practice_mw.statistic, practice_wilcoxon.statistic],
"p 值": [practice_mw.pvalue, practice_wilcoxon.pvalue],
}
).round(4)| 檢定 | 統計量 | p 值 | |
|---|---|---|---|
| 0 | Mann-Whitney U | 5.0 | 0.0223 |
| 1 | Wilcoxon signed-rank | 0.0 | 0.0156 |
| 中文術語 | English term | 說明 |
|---|---|---|
| 非參數方法 | nonparametric methods | 較少依賴特定母群體分布形式的統計方法。 |
| 排序 | rank | 將觀察值依大小轉換為名次。 |
| 次序資料 | ordinal data | 有自然順序但間距未必相等的資料。 |
| Mann-Whitney U 檢定 | Mann-Whitney U test | 比較兩獨立樣本排序分布的非參數檢定。 |
| Wilcoxon rank-sum test | Wilcoxon rank-sum test | Mann-Whitney U 檢定的另一名稱。 |
| 符號檢定 | sign test | 只使用差值方向進行推論的非參數檢定。 |
| Wilcoxon 符號等級檢定 | Wilcoxon signed-rank test | 使用配對差值方向與大小排序的非參數檢定。 |
| Kruskal-Wallis 檢定 | Kruskal-Wallis test | 比較三組以上獨立樣本排序分布的非參數檢定。 |
| Spearman 等級相關 | Spearman rank correlation | 基於排序衡量兩變項單調關係的相關係數。 |
| 單調關係 | monotonic relationship | 一變項增加時另一變項大致持續增加或減少的關係。 |
| 置換檢定 | permutation test | 透過重新排列標籤建立虛無分布的重抽樣檢定。 |
| 交換性 | exchangeability | 在虛無假設下觀察值標籤可交換的性質。 |
| 事後比較 | post-hoc comparison | 多組整體檢定後進一步比較特定組別的方法。 |
| 多重比較 | multiple comparisons | 同時進行多個比較而增加第一型錯誤風險的情況。 |